地震复发的时间分布模型是地震学研究的重要内容。长久以来，地震的发生在时间上符合泊松模型是概率地震危险性分析和地震预测中所广泛接受的基本假设。然而，近些年来，关于大地震的时间相依性问题引起了科学家的强烈关注，地震时间相依的活动特征对地震危险性分析具有显著影响。因此，基于我国丰富的历史地震目录研究大地震的复发模型特征，对地震危险性分析中地震复发模型的选择以及地震复发间隔的计算具有重要的科学意义。

中国地震局地球物理研究所徐伟进副研究员等以我国华北地震区数百年完整的强震记录为基础，研究了华北地震区强震的时间复发模型。以华北地震区M≥6.5级地震目录为基本输入，将泊松模型（Poisson）、伽马模型（Gamma）、威布尔模型（Weibull）、对数正态分布模型（Lognormal）和布朗过程时间模型（BPT）设为地震复发模型，使用最大似然法回归了模型系数，并根据AIC准则和K-S检验值来判定模型的拟合优度。研究结果表明，对数正态分布模型和BPT模型能够更好地描述华北地震区强震的复发特征，这意味华北地区强震具有显著的时间相依特征，基于这两个模型计算的M≥6.5级强震重现期均值分别为8.1年和13.2年。模型系数的置信区间基于似然剖面法进行了估算。本研究还计算了未来一段时间华北地震区M≥6.5地震的发生概率，结果表明，华北地区未来10年发生M≥6.5地震的概率在35%-53%左右。

图1 华北地震区强震复发间隔的累积经验分布及使用极大似然法拟合的指数分布（Exponential）、威布尔分布（Weibull）、对数正态分布（Lognormal (LND)）、伽马分布（Gamma）以及布朗过程时间分布（BPT）等5个复发模型的累积分布曲线。从中可以看出LND模型和BPT模型曲线与实际观测数据吻合更好一些，这意味着华北地区强震具有显著的时间相依特征。

图2 （a）BPT模型参数和（b）对数正态分布模型参数的似然比等值线图。（c）为在参数α=αML时似然函数值随μ的变化曲线，（d）为在μ=μML时不同α值下的模型似然函数值曲线, 灰色虚线以上为参数95%置信区间。

通过网格计算方法计算每个参数网格点处（θ=（μ, α），或者θ=（ν, σ））的似然函数值，网格点处参数对的值越接近模型参数的真实值，则似然函数越大。图中两个子图分别为BPT模型和对数正态分布模型的似然比对数值的平面等值线图，其中最外层的线圈是参数对θ 95%置信区间对应的似然比值，十字号为似然值最大处的网格点，对应模型真实的参数值。对于BPT模型和对数正态模型中单个参数的置信区间可以采用从似然面上画一条似然剖面的方法求得。从图(a)或(b)的似然面上分别划一条通过最大似然值点的平行纵坐标和横坐标的剖面，即为模型似然值对应单个参数的变化曲线，可得到每个模型参数在一定置信区间内的取值范围（图(c)和(d)）。

图3 (a)基于泊松、BPT和Lognormal模型的未来1年地震发生条件概率随离逝时间的变化;(b)未来10年地震发生条件概率随离逝时间的变化。黑色垂直虚线表示当前时间。对于1年条件概率，基于BPT和Lognormal模型的计算值显示出以下特征:当离逝时间较短时，计算出的发震概率小于泊松模型;随着时间的增加，计算得到的发震概率开始超过泊松模型;当离逝的时间较长(相对于重现间隔)时，计算出的发生概率再次小于泊松模型。对于10年条件概率，当地震离逝时间较短时，基于BPT和Lognormal模型计算的地震发生概率大于泊松模型，当地震离逝时间大于重现间隔时，基于两种模型计算的地震发生概率小于泊松模型。

本研究的创新之处体现在：1. 提出了一种基于历史地震目录，使用最大似然剖面法求取地震复发间隔及其不确定性的方法。2. 从统计学上揭示了华北地震区大地震的复发特征，并解释了其物理机制。对于BPT模型，随着离逝时间的增加，构造应力持续累积，地震的发生概率逐渐增大。然而由于华北地区地震复发间隔的变异系数相对较大，随着地震离逝时间的进一步增加，地震发生概率缓慢减小，这说明该地区的地震序列受噪音主导，这可能是由于该地区受多方向、多来源的复杂应力场的影响，应力之间相互作用甚至相互消散，地区内的发震构造没有受到持续的应力加载作用，最终维持在一个相对恒定的应力状态下。

本文研究结果可为时间相依地震危险性分析中地震复发模型的选择以及地震复发间隔的计算提供重要的依据。也为地震概率预测提供了有益的途径。

研究成果2023年发表于学术期刊《Natural Hazards》（Xu, W., Wu, J. & Gao, M. Temporal distribution model and occurrence probability of M?≥?6.5 earthquakes in North China Seismic Zone. Nat Hazards 119, 125–141 (2023). https://doi.org/10.1007/s11069-023-06124-5）。研究受研究所基本业务专项“时间相依地震区划图编制技术研究DQJB22Z03”项目资助。

【作者简介】

徐伟进，男，副研究员，主要从事地震活动性，概率地震危险性分析理论、方法以及应用研究。